Sistemas de numeración

Nuestro sistema de numeración habitual es de base 10 (o decimal), es decir:

·       Existen 10 dígitos (0, 1, …, 9) posibles en cada posición del número.

·       Numerando de derecha a izqhuierda los dígitos de un número, empezando con el cero, el valor (peso) de posición del dígito n es 10ⁿ.

Por ejemplo, 1234 en base 10 quiere decir:

1´10³ + 2´10² + 3´10¹ + 4´1⁰

Para indicar explícitamente que el número 1234 está en base 10, lo representaremos así: 1234₍₁₀.

Lo que hemos dicho hasta ahora del sistema decimal se puede resumir diciendo que es un sistema de numeración posicional, lo que quiere decir que el valor de una cifra depende de la posición en la que se encuentre. Es decir, un número x estará formado por un conjunto de cifras, del siguiente modo:

x = x_k x_k-1….x₁ x₀ x_-1…x_–j

El subíndice indica la posición. Según este subíndice, cada posición tiene un peso. Los elementos x_k los llamamos coeficientes.

Llamando b a la base de numeración, tenemos la siguiente fórmula general (que nos da el valor decimal de un número en cualquier base b):

Otro ejemplo en base 10 (b=10), ahora también con parte decimal:

174’25₍₁₀ = 1´10² + 7´10¹ + 4´10⁰ + 2´10^-1 + 5´10^-2

A partir de aquí, para obtener un nuevo sistema de numeración, solamente tenemos que elegir una base b. Siempre se verificará, además, que los cjoeficientes (los dígitos que forman los números en una base b) siempre cumplen que:

sistema binario

El ordenador está diseñado sobre la base de numeración binaria (base 2). Por eso este caso particular merece mención aparte. Siguiendo las reglas generales para cualquier base expuestas antes, tendremos que:

·       Existen dos dígitos (0 o 1) en cada posición del número.

·       Numerando de derecha a izquierda los dígitos de un número, empezando por cero, el valor decimal de la posición es 2ⁿ.

Por ejemplo, 1101₍₂ (en base 2) quiere decir:

1´2³ + 1´2² + 0´2¹ + 1´2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₍₁₀

sistema de numeración en base 8 (octal)

·       Existen ocho dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

·       Numerando de derecha a izquierda los dígitos de un número, empezando por cero, el valor decimal de la posición es 8ⁿ.

Por ejemplo, 437₍₈ quiere decir:

4´8² + 3´8¹ + 7´8⁰ = 256 + 24 + 7 = 287₍₁₀

sistema de numeración en base 16 (hexadecimal)

·       Existen 16 dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Los dígitos hexadecimales A al F se corresponden con los valores decimales 10 al 15.

·       Numerando de derecha a izquiherda los dígitos de un número, empezando por cero, el valor decimal de la posición es 16ⁿ.

Por ejemplo, B7D3₍₁₆ qure decir:

11´16³ + 7´16² + 13´16¹ + 3´16⁰ = 45056 + 1792 + 208 + 3 = 47059₍₁₀

Además del subíndice “(n”, existe otra notación para indicar la base en la que está representado un número. Esta otra notación consiste en añadir un sufijo tras el número:

Sufijo	Basne	Ejemplos
B	2	01111101b
o, q	8	175q
h	16	7Dh
d	10	123d

cambios de base de numeración

Existe un procedimiento general para cambiar una base cualquiera a otra cualquiera:

·       Para pasar de una base cualquiera a base 10, hemos visto que basta con realizar la suma de los productos de cada dígito por su valor de posición. Los valores de posición se obtienen como potencias sucesivas de la base, de derecha a izquierda, empezando por el exponente cero. Cada resultado obtenido se suma, y el resultado global es el número en base 10.

·       Para pasar de base 10 a otra base, en vez de multiplicar, dividimos el número a convertir entre la nueva base. El cociente se vuelve a dividir por la base, y así sucesivamente hasta que el cociente sea inferior a la base.El último cociente y los restos (en orden inverso) indican los dígitos en la nueva base. Por ejemplo: para pasar el número 35₍₁₀ a binario, octal y hexadecimal

Para pasar en general de una base m a otra base n, haremos lo siguiente: primero pasaremos de base m a base 10 (método conocido) y luego de base 10 a base n (también conocido).

En ocasiones para pasar de una base m a otra base n no es necesario hacer lo que se acaba de indicar, sino que se puede usar un mhétodo mucho más simple. Para explicar esto, introducimos el concepto de correspondencia entre sistemas: Cualquier base de numeración que sea potencia de otra base (como las bases 2, 8 y 16) tienen una correspondencia. De este modo, por ejemplo, podemos:

¨ representar cada dígito octal en forma de una combinación de tres dígitos binarios

¨ representar cada dígito hexadecimal como cuatro dígitos binarios

De este modo, cuando estemos convirtiendo un número expresado en una base a otra base que sea potencia de la primera, podemos usar la propiedad que se acaba de citar.